300. 最长递增子序列

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题目

Given an integer array nums, return the length of the longest strictly increasing _ subsequence_.

Example 1:

Input: nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]

Output: 4

Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4.

Example 2:

Input: nums = [0,1,0,3,2,3]

Output: 4

Example 3:

Input: nums = [7,7,7,7,7,7,7]

Output: 1

Constraints:

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4

Follow up: Can you come up with an algorithm that runs in O(n log(n)) time complexity?

题目大意

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

进阶：

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n logn) 吗?

解题思路

思路一：动态规划

可以使用动态规划来解决:

• 创建一个长度为 n 的数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素为结尾的最长递增子序列的长度。
• 初始化 dp 数组的所有元素为 1，因为每个元素自身也是一个长度为 1 的递增子序列。
• 对于每个位置 i，遍历 0 到 i-1 的所有位置，如果 nums[i] > nums[j]，说明 nums[i] 可以接在 nums[j] 后面构成一个更长的递增子序列，更新 dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)。
• 最终，dp 数组中的最大值即为所求的最长递增子序列的长度。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n^2) ，其中 n 是数组 nums 的长度。主要的时间复杂度来自于两层嵌套的循环，外层循环遍历数组中的每个元素，而内层循环在每次外层循环中都遍历了之前的所有元素。
• 空间复杂度: O(n)，使用了一个长度为 n 的数组来存储中间状态。

---

思路二：二分查找

使用二分查找优化最长递增子序列问题，主要利用了一个辅助数组 tails。这个数组在遍历过程中，始终保持递增的状态。辅助数组 tails 的长度 len 表示当前已经找到的最长递增子序列的长度。二分查找的过程如下：

1. 初始化左右指针：

   • 初始时，left 指向 0，right 指向 len。

2. 开始二分查找：

   • 在当前的辅助数组 tails 中进行二分查找，找到第一个大于等于 nums[i] 的位置。用 mid 表示二分查找中间位置。
   • 如果 tails[mid] < nums[i]，说明当前的递增子序列可以继续延长，因此更新 left = mid + 1。
   • 否则，说明当前递增子序列需要进行调整，因此更新 right = mid。

3. 更新辅助数组：

   • 如果 left === len，说明 nums[i] 大于当前递增子序列的所有元素，将 nums[i] 添加到辅助数组的末尾，并且递增子序列的长度 len++。
   • 否则，将 nums[i] 替换掉辅助数组中第一个大于等于 nums[i] 的元素。

4. 迭代下一个元素：

   • 重复上述过程，直到遍历完整个数组 nums。

5. 最终结果：

   • 辅助数组的长度 len 即为最长递增子序列的长度。

举一个具体的示例来说明：

假设 nums = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]。

• 初始化时，辅助数组 tails 为空，len = 0。
• 当处理元素 nums[0] = 10 时，tails 为空，将 10 加入到 tails，len 变为 1。
• 当处理元素 nums[1] = 9 时，通过二分查找在 tails 中找到第一个大于等于 9 的位置，将 tails[0] 替换为 9。
• 依此类推，处理完整个数组后，tails 为 [2, 3, 7, 18]，len = 4，最终结果为 4。

这种方法的核心在于通过二分查找，高效地维护了一个递增的辅助数组，从而在保证正确性的同时降低时间复杂度到 O(n logn)。

复杂度分析

• 时间复杂度: O(n logn) ，其中 n 是数组 nums 的长度。
• 空间复杂度: O(len)，其中 len 是最长递增子序列的长度，使用了一个长度最长为 len 的辅助数组。

代码

动态规划

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var lengthOfLIS = function (nums) {
	let dp = new Array(nums.length).fill(1);
	for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
		for (let j = 0; j < i; j++) {
			if (nums[i] > nums[j]) {
				dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
			}
		}
	}

	return Math.max(...dp);
};

二分查找

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
function lengthOfLIS(nums) {
	if (!nums || nums.length === 0) {
		return 0;
	}

	const n = nums.length;
	const tails = [];
	let len = 0;

	for (let i = 0; i < n; i++) {
		let left = 0;
		let right = len;

		while (left < right) {
			const mid = Math.floor((left + right) / 2);
			if (tails[mid] < nums[i]) {
				left = mid + 1;
			} else {
				right = mid;
			}
		}

		if (left === len) {
			tails[len++] = nums[i];
		} else {
			tails[left] = nums[i];
		}
	}

	return len;
}

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