1049. 最后一块石头的重量 II

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题目

You are given an array of integers stones where stones[i] is the weight of the ith stone.

We are playing a game with the stones. On each turn, we choose any two stones and smash them together. Suppose the stones have weights x and y with x <= y. The result of this smash is:

• If x == y, both stones are destroyed, and
• If x != y, the stone of weight x is destroyed, and the stone of weight y has new weight y - x.

At the end of the game, there is at most one stone left.

Return the smallest possible weight of the left stone. If there are no stones left, return 0.

Example 1:

Input: stones = [2,7,4,1,8,1]

Output: 1

Explanation:

We can combine 2 and 4 to get 2, so the array converts to [2,7,1,8,1] then,

we can combine 7 and 8 to get 1, so the array converts to [2,1,1,1] then,

we can combine 2 and 1 to get 1, so the array converts to [1,1,1] then,

we can combine 1 and 1 to get 0, so the array converts to [1], then that's the optimal value.

Example 2:

Input: stones = [31,26,33,21,40]

Output: 5

Constraints:

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

题目大意

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出 任意两块石头 ，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]

输出：1

解释：

组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，

组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，

组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，

组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]

输出：5

解题思路

思路一：动态规划

这道题可以转化为背包问题，有一定的难度。

题目要从石头堆中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎，求最后一块石头的重量。可以将问题转化为：把一堆石头分成两堆，求两堆石头重量差最小值;

进一步分析，要让差值小，两堆石头的重量都要接近 sum/2 ，我们假设两堆分别为 A、B ，A<sum/2，B>sum/2，若 A 更接近 sum/2 ，B 也相应更接近 sum/2;

进一步转化，将一堆 stones 放进最大容量为 sum/2 的背包，求放进去的石头的最大重量 MaxWeight，最终答案即为 sum-2*MaxWeight;

• 先求出所有石头的总重量 sum，则背包的重量为 target = sum / 2；
• 使用二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将前 i 块石头放入容量为 j 的背包时，背包里石头的最大重量。
• 初始化第一列，表示只有一块石头 stones[0] 时，背包里石头的最大重量。
• 状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]
  • 其中，dp[i - 1][j] 表示第 i 个石头不放入背包；
  • dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i] 表示第 i 个石头放入背包，则对于前 i - 1 块石头，背包的容量只剩 j - stones[i]；
• 遍历石头重量和背包容量，根据状态转移方程更新 dp[i][j] 的值。
• 最后返回 sum - 2 * dp[n - 1][target]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * target)，其中 n 是石头的数量，target 是石头总重量的 1/2。
• 空间复杂度：O(n * target)，使用了一个二维动态规划数组。

---

思路二：压缩状态的动态规划

• 由于二维数组中，第 i 行 dp[i][...] 只和第 i - 1 行 dp[i - 1][...] 有关，所以可以将 dp 数组压缩至一维；
• 使用一维数组 dp，其中 dp[j] 表示背包容量为 j 时的，背包里石头的最大重量；
• 初始化 dp 数组为 0；
• 状态转移方程：dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]；
  • 其中，dp[j] 表示第 i 个石头不放入背包；
  • dp[j - stones[i]] + stones[i] 表示第 i 个石头放入背包，则对于前 i - 1 块石头，背包的容量只剩 j - stones[i]；
• 遍历石头重量和背包容量，根据状态转移方程更新 dp[i][j] 的值，注意，此时需要反向遍历 j，确保在更新当前状态时，所依赖的状态已经被正确计算；
• 最后返回 sum - 2 * dp[target]；

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n * target)，其中 n 是石头的数量，target 是石头总重量的 1/2。
• 空间复杂度：O(target)，使用了一个一维动态规划数组。

代码

动态规划

/**
 * @param {number[]} stones
 * @return {number}
 */
var lastStoneWeightII = function (stones) {
	const sum = stones.reduce((num, acc) => acc + num, 0);
	const target = Math.floor(sum / 2);
	const n = stones.length;
	const dp = new Array(n).fill(0).map(() => new Array(target + 1).fill(0));
	// base case
	for (let j = 0; j <= target; j++) {
		if (j < stones[0]) {
			dp[0][j] = 0;
		} else {
			dp[0][j] = stones[0];
		}
	}
	for (let i = 1; i < n; i++) {
		for (let j = 1; j <= target; j++) {
			if (j < stones[i]) {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			} else {
				dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);
			}
		}
	}
	return sum - 2 * dp[n - 1][target];
};

压缩状态的动态规划

/**
 * @param {number[]} stones
 * @return {number}
 */
var lastStoneWeightII = function (stones) {
	const sum = stones.reduce((num, acc) => acc + num, 0);
	const target = Math.floor(sum / 2);
	const n = stones.length;
	const dp = new Array(target + 1).fill(0);

	for (let i = 0; i < n; i++) {
		for (let j = target; j >= 0; j--) {
			if (j >= stones[i]) {
				dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
			}
		}
	}
	return sum - 2 * dp[target];
};

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